Question

16．已知拋物線C：x²=2py的焦點與橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的上焦點重合，點A是直線x-2y-8=0上任意一點，過A作拋物線C的兩條切線，切點分別為M，N．
（I）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明直線MN過定點，并求出定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）求得橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的a，b，c，可得上焦點，即有p=2，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程，再由A為AN，AM的交點，代入A的坐標(biāo)，結(jié)合兩點確定一條直線，可得MN的方程，再由A在定直線上，運用直線系方程的知識可得定點．

解答 解：（I）橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得橢圓的上焦點為（0，1），
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
則拋物線的方程為x²=4y；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{4}$x²，可得y′=$\frac{1}{2}$x，
即有直線AM：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即為y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，
可得y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
同理可得AN：y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂，
由AN，AM經(jīng)過A，可得y₀=$\frac{1}{2}$x₁x₀-y₁，
y₀=$\frac{1}{2}$x₂x₀-y₂，
由兩點確定一條直線，可得
MN：y₀=$\frac{1}{2}$xx₀-y，
又A是直線x-2y-8=0上的點，可得x₀-2y₀-8=0，
代入直線MN的方程，可得
x₀（x-1）-2（y-4）=0，
由x-1=0，y-4=0，可得x=1，y=4．
即直線MN恒過定點（1，4）．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運用橢圓的焦點坐標(biāo)，考查直線恒過定點的解法，注意運用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，由點斜式方程求得切線的方程，考查直線系方程的運用，以及運算能力，屬于中檔題．