Question

3．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{1}{2}$，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)是（0，2$\sqrt{3}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P（2，3）、Q（2，-3）是橢圓上兩點(diǎn)，A、B是橢圓位于直線PQ兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，
①若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由離心率等于$\frac{1}{2}$，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)是（0，2$\sqrt{3}$），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）①設(shè)直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}x+t$，代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，得：x²+tx+t²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，能求出四邊形APBQ面積的最大值．
②當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2），PB的直線方程為y-9=-k（x-2），由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵離心率等于$\frac{1}{2}$，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)是（0，2$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}x+t$，
代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，得：x²+tx+t²-12=0，
由△＞0，解得-4＜t＜4．由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-t，${x}_{1}{x}_{2}={t}^{2}-12$．
四邊形APBQ的面積S=$\frac{1}{2}×6×|{x}_{1}-{x}_{2}|$=9$\sqrt{48-9{t}^{2}}$，
∴當(dāng)t=0時(shí)，${S}_{max}=12\sqrt{3}$．
②當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，
PA的直線方程為y-3=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-9=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9+4k²）x²+8（9-2k）kx+4（9-2k）²-48=0，
有${x}_{1}+2=\frac{8（2k-9）k}{9+4{k}^{2}}$．
同理PB的直線方程為y-9=-k（x-2），得${x}_{2}+2=\frac{-8k（-2k-9）}{9+4{k}^{2}}=\frac{8k（2k+9）}{9+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-12}{9+4{k}^{2}}$，${x}_{1}-{x}_{2}=-\frac{48k}{9+4{k}^{2}}$．
從而k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）+9+k（{x}_{2}-2）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積最大值的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．