Question

10．如圖已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點．
（Ⅰ）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值．
（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一對對邊平行且相等，得到一個四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊平行，把兩條異面直線所成的角表示出來，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（Ⅱ）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設出線段的長，根據(jù)條件中所給的兩個平面的二面角的值，求出設出的a的值，再求出四棱錐的體積．

解答 證明：（Ⅰ）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點，ABCD是邊長為2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE為平行四邊形
∴DE∥BF
∴∠PBF是PB與DE的所成角
△PBF中，BF=$\sqrt{5}$，PF=，$\sqrt{2}$，PB=3，
∴cos∠PBF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴異面直線PB和DE所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
解：（Ⅱ）如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．設PD=a，
可得如下點的坐標：
P（0，0，a），F(xiàn)（1，0，0），B（2，2，0）
則有：$\overrightarrow{PF}$=（1，0，-a），$\overrightarrow{FB}$=（1，2，0）
因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
設平面PFB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則可得$\left\{\begin{array}{l}{x-az=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得z=$\frac{1}{a}$，y=-$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，所以得$\frac{\frac{1}{a}}{1•\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，解得a=2．
因為PD是四棱錐P-ABCD的高，
所以其體積為V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$×2×4=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查立體幾何的綜合問題，在題目中不是求二面角．二是以二面角的大小為已知條件，求出圖形中的未知量，再進行其他的運算．