Question

7．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，各棱長均為2，D、E、F分別是棱AC，AA₁，CC₁的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：B₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A₁C₁中點(diǎn)D₁，連接FD₁，B₁D₁，DD₁，推導(dǎo)出DD₁∥BB₁，B₁D₁∥BD，從而B₁D₁∥平面EBD，再求出D₁F∥平面EBD，從而平面B₁FD₁∥平面EBD，由此能證明B₁F∥平面BDE．
（Ⅱ）連接FD，推導(dǎo)出平面AA₁C₁C⊥平面ABC，BD⊥AC，BD⊥DF，DF⊥ED，從而DF⊥平面EBD，過D作DH⊥EB于H，連接FH，∠FHD為二面角F-BE-D的平面角，由此能求出二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取A₁C₁中點(diǎn)D₁，連接FD₁，B₁D₁，DD₁，
∵AD=DC，A₁D₁=D₁C₁，∴DD₁∥BB₁，且DD₁=BB₁，∴B₁D₁∥BD，
又B₁D₁?平面EBD，BD?平面EBD，∴B₁D₁∥平面EBD，…（2分）
又D₁F∥ED，D₁F?平面EBD，ED?平面EBD，∴D₁F∥平面EBD，…．（4分）
又B₁D₁∩D₁F=D₁，B₁D₁，D₁F?平面B₁FD₁，…（5分）
∴平面B₁FD₁∥平面EBD，又B₁F?平面B₁FD₁，∴B₁F∥平面BDE．…．（6分）
解：（Ⅱ）連接FD，∵AA₁⊥平面ABC，∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又∵平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，BD⊥AC，BD?平面ABC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥DF．
又在正方形AA₁C₁C中，∠EDF=90°，∴DF⊥ED，
又∵BD∩ED=D，∴DF⊥平面EBD…．（8分）
過D作DH⊥EB于H，連接FH，∴FH⊥EB，
∴∠FHD為二面角F-BE-D的平面角…..…（10分）
又∵DF=$\sqrt{2}$，在Rt△EDB中，BD=$\sqrt{3}$，ED=$\sqrt{2}$，∴EB=$\sqrt{5}$，
∴DH=$\frac{ED•DB}{EB}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，HF=$\sqrt{D{F}^{2}+D{H}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴cos$∠FHD=\frac{HD}{HF}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，故二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$…．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．