Question

α，β，γ∈（0，

π

2

），且cos²α+cos²β+cos²γ=1，則tanαtanβtanγ的最小值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由cos²α+cos²β+cos²γ=1想到一個數(shù)學模型即三個角可看作是長方體的對角線與過一個頂點的三條棱的所成的角，設出長方體的三條棱，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出tanαtanβtanγ，利用基本不等式可求出它的最小值．

解答： 解：由cos²α+cos²β+cos²γ=1聯(lián)想到銳角α、β、γ是長方體的對角線與過一個頂點的三條棱所成角，
記該長方體過一個頂點的三條棱長分別為a、b、c，
則tanαtanβtanγ=

b2+c2

a

•

a2+c2

b

•

a2+b2

c

≥

2bc

a

•

2ac

b

•

2ab

c

=2

2

，
當且僅當a=b=c時，等號成立．
所以tanαtanβtanγ的最小值為2

2

．
故答案為：2

2

．

點評：本題考查了利用現(xiàn)有的數(shù)學模型即長方體的對角線與棱所成的角來解決實際問題，同時要會用基本不等式求最值，能否想到這個數(shù)學模型是解題的關鍵也是一個難點，屬于中檔題．