Question

隨著教育制度和高考考試制度的改革，高校選拔人才的方式越來越多，某高校向一基地學校投放了一個保送生名額，先由該基地學校初選出10名優(yōu)秀學生，然后參與高校設置的考核，考核設置了難度不同的甲、乙兩個方案，每個方案都有M（文化）、N（面試）兩個考核內容，最終選擇考核成績總分第一名的同學定為該高校在基地學校的保送生，假設每位同學完成每個方案中的M、N兩個考核內容的得分是相互獨立的，根據(jù)考核前的估計，某同學完成甲方案和乙方案的M、N兩個考核內容的情況如表：
表1：甲方案

考核內容	M（文化）		N（面試）
得分	100	80	50	20
概率	3 4	1 4	2 3	1 3

表2：乙方案

考核內容	M（文化）		N（面試）
得分	90	60	30	10
概率	9 10	1 10	3 4	1 4

已知該同學最后一個參與考核，之前的9位同學的最高得分為125分．
（1）若該同學希望獲得保送資格，應該選擇哪個方案？請說明理由，并求其在該方案下獲得保送資格的概率；
（2）若該同學選用乙方案，求其所得成績X的分布列及其數(shù)學期望EX．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）若該同學希望獲得保送資格，應該選擇甲方案．這是因為選擇甲方程最高得分為150分＞125分，可能獲得第一名即保送資格．而選擇乙方案，最高得分為120分＜125分，不可能獲得第一名即保送資格．記“該同學完成考核M得100分”為事件A，“該同學完成考核N得50分”為事件B，則P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，由此能求出在該方案下獲得保送資格的概率．
（2）若該同學選擇乙方案，則X的可能取值為120，100，90，70，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（1）若該同學希望獲得保送資格，應該選擇甲方案．
理由如下：
選擇甲方程最高得分為：100+50=150分＞125分，
可能獲得第一名即保送資格．
而選擇乙方案，最高得分為：90+30=120分＜125分，
不可能獲得第一名即保送資格．
記“該同學完成考核M得100分”為事件A，“該同學完成考核N得50分”為事件B，
則P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，
記“該同學獲得保送資格”為事件C，
則P（C）=P（AB）+P（

.

A

B）
=

3

4

×

3

4

+

1

4

×

3

4

=

3

4

，
∴在該方案下獲得保送資格的概率為

3

4

．
（2）若該同學選擇乙方案，則X的可能取值為120，100，90，70，
則P（X=120）=

9

10

×

9

10

=

81

100

，
P（X=100）=

9

10

×

1

10

=

9

100

，
P（X=90）=

1

10

×

9

10

=

9

100

，
P（X=70）=

1

10

×

1

10

=

1

100

，
∴X的分布列為：

X	120	100	90	70
P	81 100	9 100	9 100	1 100

EX=120×

81

100

+100×

9

100

+90×

9

100

+70×

1

100

=115．

點評：本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．