Question

隨著教育制度和高考考試制度的改革，高校選拔人才的方式越來越多，某高校向一基地學(xué)校投放了一個(gè)保送生名額，先由該基地學(xué)校初選出10名優(yōu)秀學(xué)生，然后參與高校設(shè)置的考核，考核設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個(gè)方案，每個(gè)方案都有M（文化）、N（面試）兩個(gè)考核內(nèi)容，最終選擇考核成績總分第一名的同學(xué)定為該高校在基地學(xué)校的保送生，假設(shè)每位同學(xué)完成每個(gè)方案中的M、N兩個(gè)考核內(nèi)容的得分是相互獨(dú)立的，根據(jù)考核前的估計(jì)，某同學(xué)完成甲方案和乙方案的M、N兩個(gè)考核內(nèi)容的情況如表：
表1：甲方案

考核內(nèi)容	M（文化）		N（面試）
得分	100	80	50	20
概率	3 4	1 4	2 3	1 3

表2：乙方案

考核內(nèi)容	M（文化）		N（面試）
得分	90	60	30	10
概率	9 10	1 10	3 4	1 4

已知該同學(xué)最后一個(gè)參與考核，之前的9位同學(xué)的最高得分為125分．
（1）若該同學(xué)希望獲得保送資格，應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？請說明理由，并求其在該方案下獲得保送資格的概率；
（2）若該同學(xué)選用乙方案，求其所得成績X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）若該同學(xué)希望獲得保送資格，應(yīng)該選擇甲方案．這是因?yàn)檫x擇甲方程最高得分為150分＞125分，可能獲得第一名即保送資格．而選擇乙方案，最高得分為120分＜125分，不可能獲得第一名即保送資格．記“該同學(xué)完成考核M得100分”為事件A，“該同學(xué)完成考核N得50分”為事件B，則P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，由此能求出在該方案下獲得保送資格的概率．
（2）若該同學(xué)選擇乙方案，則X的可能取值為120，100，90，70，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（1）若該同學(xué)希望獲得保送資格，應(yīng)該選擇甲方案．
理由如下：
選擇甲方程最高得分為：100+50=150分＞125分，
可能獲得第一名即保送資格．
而選擇乙方案，最高得分為：90+30=120分＜125分，
不可能獲得第一名即保送資格．
記“該同學(xué)完成考核M得100分”為事件A，“該同學(xué)完成考核N得50分”為事件B，
則P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，
記“該同學(xué)獲得保送資格”為事件C，
則P（C）=P（AB）+P（

.

A

B）
=

3

4

×

3

4

+

1

4

×

3

4

=

3

4

，
∴在該方案下獲得保送資格的概率為

3

4

．
（2）若該同學(xué)選擇乙方案，則X的可能取值為120，100，90，70，
則P（X=120）=

9

10

×

9

10

=

81

100

，
P（X=100）=

9

10

×

1

10

=

9

100

，
P（X=90）=

1

10

×

9

10

=

9

100

，
P（X=70）=

1

10

×

1

10

=

1

100

，
∴X的分布列為：

X	120	100	90	70
P	81 100	9 100	9 100	1 100

EX=120×

81

100

+100×

9

100

+90×

9

100

+70×

1

100

=115．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．