Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=2，AC=AD=DE=4，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ） 若∠CAD=60°，求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證法一：取DE的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，根據(jù)線段的長度關(guān)系可得：AM∥BE，再根據(jù)中位線可得：MF∥CE，進(jìn)而結(jié)合線面平行于面面平行的判定定理可得答案．
證法二：取CE的中點(diǎn)N，連接FN，BN，根據(jù)線段的長度關(guān)系與平行關(guān)系可得：AB∥NF，AB=NF，進(jìn)而得到AF∥BN，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行．
（Ⅱ）解法一：過F作PF⊥AD交AD于點(diǎn)P，作PG⊥BE，連接FG．根據(jù)三垂線定理可得：PGF就是二面角F-BE-D的平面角．再結(jié)合特征的條件把角放入三角形中，利用解三角形的有關(guān)知識(shí)解決問題．
解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量借助于向量的有關(guān)計(jì)算，求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
解答：證明：（Ⅰ）證法一：如圖（1），取DE的中點(diǎn)M，連接AM，F(xiàn)M，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE．
，
∴四邊形ABEM是平行四邊形，
∴AM∥BE
又∵AM?平面BCE，BE?平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
∵CF=FD，DM=ME，∴MF∥CE，
又∵M(jìn)F?平面BCE，CE?平面BCE，
∴MF∥平面BCE，又∵AM∩MF=M，
∴平面AMF∥平面BCE，
∵AF?平面AMF，
∴AF∥平面BCE．-------（5分）
證法二：如圖（2），取CE的中點(diǎn)N，連接FN，BN，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∵CF=FD，CN=NE，∴NF∥DE，，
又，∴AB∥NF，AB=NF，
∴四邊形ABNF是平行四邊形，
∴AF∥BN，又∵AF?平面BCE，BN?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．------（5分）
（Ⅱ）解法一：如圖（3）過F作PF⊥AD交AD于點(diǎn)P，作PG⊥BE，連接FG．
∵AB⊥平面ACD，AB?平面ABED，
∴平面ABED⊥平面ACD，
∴PF⊥平面ABED，∴FG⊥BE（三垂線定理）．
所以，∠PGF就是二面角F-BE-D的平面角．
由AC=AD，∠CAD=60°，知△ACD是正三角形，
在Rt△DPF中，PD=DFcos60°=1，，∴PA=3，
∴S_△PBE=S_梯形ABED-S_△ABP-S_△PDE=12-3-2=7，
∵，∴
∴在Rt△PGF中，由勾股定理，得，
∴，即二面角F-BE-D的余弦值為．----（12分）
解法二：以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB為x軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖（4）所示，則A（0，0，0），B（0，0，2），，，于是，有，，，
設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，則令，可得，
設(shè)平面ABED的一個(gè)法向量為，則，可得，
∴
所以，所求的二面角F-BE-D的余弦值為．------（12分）
點(diǎn)評：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角等問題．