Question

如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．
（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；
（2）求證：（）；
（3）設，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）， （2）， （3）

第一問利用有，得到
第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，
得
第三問 

．………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分
②假設當時，命題成立，即有，……………………1分
則當時，由歸納假設及，
得．
即
解得（不合題意，舍去）
即當時，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對所有，．   ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，最大為，即
．……………2分
由題意，有． 所以，