已知平行于直線2x-y+1=0的直線l與雙曲線
x2
3
-
y2
2
=1交于A，B兩點，且|AB|=4．
（1）求直線l的方程
（2）求△AOB的面積，O為原點．
考點：雙曲線的簡單性質
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）由兩直線平行的條件，可得直線l：2x-y+t=0，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，得x的二次方程，運用判別式大于0，韋達定理，以及弦長公式，計算可得t，進而得到所求直線方程；
（2）求出原點到直線l的距離d，再由三角形的面積公式計算即可得到所求值．
解答： 解：（1）設平行于直線2x-y+1=0的直線l：2x-y+t=0，
聯(lián)立雙曲線方程2x2-3y2=6，
消去y，得10x2+12tx+3t2+6=0，
判別式144t2-40（3t2+6）＞0，解得，t2＞10．
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
6t
5
，x1x2=
3t2+6
10
，
則|AB|=
1+4
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
•
36t2
25
-
12t2+24
10
=4，
解得，t2=
70
3
＞10成立，即有t=±
210
3

則直線l的方程為y=2x±
210
3
；
（2）原點到直線l的距離d=
210
3
1+4
=
42
3
，
則△AOB的面積S=
1
2
•d•|AB|=
1
2
×
42
3
×4=
2
42
3
．
點評：本題考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，考查兩直線的平行的條件及點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t為參數(shù)，C2：
x=6cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）C1、C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C1上的點P對應的參數(shù)t=
π
2
，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：
x=-3
3
+
3
t
y=-3-t
（t為參數(shù)）距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．
（Ⅰ）當x1=0，x2=1，x3=2時，若方程f（x）=mx恰存在兩個相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）求證：方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根；
（Ⅲ）若方程f'（x）=0的兩個實數(shù)根是α，β（α＜β），試比較
x1+x2
2
與α，β的大小并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在xOy平面內的直線x+y=1上確定一點M，則M到空間直角坐標系Oxyz的點N（2，3，1）的最小距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的體積是（　�。�
A、2
3
B、4
3
C、6
3
D、8
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點P在圓C1：x2+（y+3）2=1上，點Q在圓C2：（x-4）2+y2=4上，則|PQ|的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=∫0x（2t+2）dt+alnx
（1）當a=-4時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程是y=
3
x，它的一個焦點在拋物線y2=48x的準線上，則雙曲線的方程為（　�。�
A、
x2
36
-
y2
108
=1
B、
x2
108
-
y2
36
=1
C、
x2
9
-
y2
27
=1
D、
x2
27
-
y2
9
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圓（x-3）2+（y-4）2=4上的點到直線x+y-14=0的最大距離
 
．

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