Question

已知函數(shù)f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），x₁，x₂，x₃∈R，且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）當(dāng)x₁=0，x₂=1，x₃=2時(shí)，若方程f（x）=mx恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求證：方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）若方程f'（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是α，β（α＜β），試比較

x1+x2

2

與α，β的大小并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）代值可把問題轉(zhuǎn)化為x（x²-3x+2-m）=0，分類討論可得；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，證明方程的△＞0即可；
（Ⅲ）由題意可得f′（

x1+x2

2

）=3（

x1+x2

2

-α）（

x1+x2

2

-β）＜0，由不等式可得．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x₁=0，x₂=1，x₃=2時(shí)，
方程f（x）=mx可化為x（x-1）（x-2）=mx，即x（x²-3x+2-m）=0
方程f（x）=mx恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，包括兩種情況：
①若x=0是方程x²-3x+2-m=0的根，則m=2時(shí)，方程x（x²-3x+2-m）=0可化為x²（x-3）=0，
則方程有兩相等實(shí)根，一個(gè)為0，一個(gè)為3；
②若方程x²-3x+2-m=0有兩相等的實(shí)根，則△=9-4（2-m）=0，解得m=-

1

4

，
此時(shí)方程x（x²-3x+2-m）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，一個(gè)

3

2

，一個(gè)為0
∴當(dāng)m=-

1

4

或m=2時(shí)，方程f（x）=mx恰存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（Ⅱ）由f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）可得f（x）=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-x₁x₂x₃，
∴f′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0，
∵△=4（x₁+x₂+x₃）²-12（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=2[（x₁-x₂）²+（x₂-x₃）²+（x₃-x₁）²]，
∵x₁＜x₂＜x₃．∴△＞0，∴方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）α＜

x1+x2

2

＜β，下面證明：
由f′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0可得
f′（

x1+x2

2

）=

3(x1+x2)2

4

-（x₁+x₂+x₃）（x₁+x₂）+x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃-x₁x₂=-

(x1-x2)2

4

＜0
即f′（

x1+x2

2

）=3（

x1+x2

2

-α）（

x1+x2

2

-β）＜0，
由α＜β可得α＜

x1+x2

2

＜β，

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及個(gè)數(shù)的判斷，涉及導(dǎo)數(shù)和一元二次方程根的關(guān)系，屬中檔題．