Question

已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（ I）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，求a的值；
（ II）若函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

n

k=1

sin

1

(k+1)2

＜ln2．．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知條件函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，可得F′（1）=0，得出等式，求出a值；
（II）因為函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，可以對其進行轉化，可以轉化為G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常數(shù)分離法進行求解；
（Ⅲ）這個證明題可以利用一個恒等式，sinx＜x，然后對

n

k=1

sin

1

(k+1)2

從第三項開始進行放縮，然后進行證明；

解答：解：（ I）∵函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
∴F（x）=ax-lnx，則 F′（x）=a-

1

x

，
∵函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，
∴F′（1）=0，
∴a-1=0，解得a=1；
（ II）∵函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+

1

x

，
只要G′（x）＞0在區(qū)間（0，1）上大于0，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+

1

x

＞0，
∴a＜

1

xcos(1-x)

，求

1

xcos(1-x)

的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最小值即可，0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函數(shù)，
h（x）＜h（1）=1，
∴

1

xcos(1-x)

的最小值為1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵0＜

1

(k+1)2

＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴

n

k=1

sin

1

(k+1)2

=sin

1

22

+sin

1

23

+…+sin

1

(n+1)2

≤

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

＜

1

4

+

1

9

+

1

16

+

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

n(n+1)

=

97

144

-

1

n+1

＜

97

144

＜ln2，
∴

n

k=1

sin

1

(k+1)2

＜ln2；

點評：第一問利用導數(shù)可以很容易解決，第二問利用了常數(shù)分離法進行證明，第三問需要進行放縮證明，主要利用sinx＜x進行證明，此題難度比較大，計算量比較大；