Question

已知x=1是f（x）=2x+

b

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-

3

x

，試問過點(diǎn)（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），再由x=1是f（x）+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，得f′（1）=0，由此能求出b，由f′（x）＜0，再結(jié)合函數(shù)的定義域能求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，設(shè)過點(diǎn)（2，5）與曲線g（x）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），故2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），由此能夠推導(dǎo)出過點(diǎn)（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．

解答：解：（1）∵x=1是f（x）=2x+

b

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，
f′（x）=2-

b

x2

+

1

x

，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，
∴b=3．
由f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＜0，得

2x2+x-3

x2

＜0，∴-

3

2

＜x＜1，
又∵x＞0（定義域），
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，1]．
（2）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，
設(shè)過點(diǎn)（2，5）與曲線g（x）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∴

y0-5

x0-2

=g′（x0），
即2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴l(xiāng)nx₀+

2

x0

-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴l(xiāng)nx₀+

2

x0

-2=0，
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
h′（x）=

1

x

-

2

x2

=0，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0，
∴h（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴過點(diǎn)（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，以及切線問題，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．