Question

已知x=1是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一個極植點
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-

3

x

，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x=1是f(x)=2x-

b

x

+1nx的一個極值點，可得f′（1）=0，從而可求b的值，令導(dǎo)數(shù)大于0，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)過點（2，5）與曲線y=g（x）相切的切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），求出切線方程，可得lnx₀+

2

x0

-2=0，構(gòu)建函數(shù)h（x）=lnx+

2

x

-2，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得h（x）與x軸有兩個交點，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵x=1是f(x)=2x-

b

x

+1nx的一個極值點
∴f′（1）=0
∵f′(x)=2+

b

x2

+

1

x

∴2+b+1=0
∴b=-3
∴f′(x)=2-

3

x2

+

1

x

令f′(x)=2-

3

x2

+

1

x

＞0，x＞0可得x＞1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）g(x)=f(x)-

3

x

=2x+lnx
設(shè)過點（2，5）與曲線y=g（x）相切的切點坐標(biāo)為（x₀，y₀）
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2）
∴2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2）
∴l(xiāng)nx₀+

2

x0

-2=0
令h（x）=lnx+

2

x

-2，則h′(x)=

1

x

-

2

x2

令h′(x)=

1

x

-

2

x2

=0可得x=2
當(dāng)0＜x＜2時，h′（x）＜0；當(dāng)x＞2時，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∵h（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0
∴h（x）與x軸有兩個交點
∴過點（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，屬于中檔題．