Question

【題目】某校高一（2）班共有60名同學(xué)參加期末考試，現(xiàn)將其數(shù)學(xué)學(xué)科成績（均為整數(shù)）分成六個分?jǐn)?shù)段[40，50），[50，60），…，[90，100]，畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖，請觀察圖形信息，回答下列問題：
（1）求a并估計這次考試中該學(xué)科的中位數(shù)、平均值；
（2）現(xiàn)根據(jù)本次考試分?jǐn)?shù)分成下列六段（從低分段到高分段依次為第一組、第二組…第六組）為提高本班數(shù)學(xué)整體成績，決定組與組之間進行幫扶學(xué)習(xí)．若選出的兩組分?jǐn)?shù)之差不小于30分（以分?jǐn)?shù)段為依據(jù)，不以具體學(xué)生分?jǐn)?shù)為依據(jù)，如：[40，50），[70，80）這兩組分?jǐn)?shù)之差為30分），則稱這兩組為“最佳組合”，試求選出的兩組為“最佳組合”的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為各組的頻率和等于1，

故第四組的頻率：

f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，∴a=0.03，

成績在[40，70）的頻率為：（0.01+0.015+0.015）×10=0.4，

成績在[40，80）的頻率為：0.4+0.03×10=0.7，

∴中位數(shù)在[70，80）內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為x，

∵中位數(shù)要平分直方圖的面積，

∴x=70+ = 分，

依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，

頻率和為（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75

所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是75%，

利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分為：

45f1+55f2+65f3+75f4+85f5+95f6

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71

估計這次考試的平均分是71分

（2）解：記選出的兩組為“最佳組合”為事件A．

從六組中任選兩組的基本事件是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳組合”條件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，

所以，選出的兩組為“最佳組合”的概率為

【解析】（1）在頻率分直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，根據(jù)頻率的和等于1建立等式解之即可；由已知得中位數(shù)在[70，80）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，由中位數(shù)要平分直方圖的面積能求出結(jié)果；60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，從而求出抽樣學(xué)生成績的合格率，再利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分即可．（2）選出的兩組為“最佳組合”的概所有的組合數(shù)有15個，其中，“最佳組合”有6個，由此求得選出的兩組為“最佳組合”的概率．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解頻率分布直方圖(頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息)．