已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為F1、F2，點P是橢圓上一點，且，|OP|=1（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為k的動直線l交
橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）因為，所以，由，得．由此能得到橢圓的方程．
（Ⅱ）動直線l的方程為：，由得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．則由此能夠證明在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，點M的坐標(biāo)為（0，1）．
解答：解：（Ⅰ）因為，所以．（2分）
∵，∴PF1⊥PF2，∴；
又∵|OP|=1，∴c=1，
∴．b=1．因此所求橢圓的方程為：．（4分）
（Ⅱ）動直線l的方程為：，
由得．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
則．（8分）
假設(shè)在y軸上存在定點M（0，m），滿足題設(shè)，則
=．（12分）
由假設(shè)得對于任意的恒成立，
即解得m=1．
因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標(biāo)為（0，1）．（14分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準(zhǔn)線方程為x=±8，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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