Question

8．如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC．當(dāng)四邊形OACB面積最大時，∠AOB=150°．

Answer 1

分析 設(shè)∠AOB=θ，并根據(jù)余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進(jìn)而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解．

解答 解：四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積，設(shè)∠AOB=θ，
則△ABC的面積=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•AB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（OA²+OB²-2OA•OB•sinθ）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ），
△OAB的面積=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinθ=$\frac{1}{2}•2•1•sinθ$=sinθ，
四邊形OACB的面積=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）+sinθ=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（θ-60°），
故當(dāng)θ-60°=90°，即θ=150°時，四邊形OACB的面積最大值為$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2，
故答案為：150°．

點評 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|、最小值為-|A|求解，屬于中檔題．