Question

18．已知矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分別為DE、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著EF翻折，使得二面角A-EF-B大小為$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-DB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EB的中點(diǎn)M，連接PM，QM，證明：平面PMQ∥平面BCD，即可證明PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，利用向量方法，即可求二面角A-DB-E的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取EB的中點(diǎn)M，連接PM，QM，
∵P為DE的中點(diǎn)，
∴PM∥BD，
∵PM?平面BCD，BD?平面BCD，
∴PM∥平面BCD，
同理MQ∥平面BCD，
∵PM∩MQ=M，
∴平面PMQ∥平面BCD，
∵PQ?平面PQM，
∴PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）解：在平面DFC內(nèi)，過F作FC的垂線，則∠DFC=$\frac{2π}{3}$，建立坐標(biāo)系，則E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，-1，-$\sqrt{3}$），A（2，-1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EB}$=（0，1，0），
設(shè)平面DAB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2y+\sqrt{3}z=0}\\{2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$），
同理平面DBE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{3}{\frac{21}{4}}$=$\frac{4}{7}$，
∴二面角A-DB-E的余弦值為$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的運(yùn)用，是中檔題．