Question

6．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=$\frac{π}{2}$，D，E分別為BC，AB上的點，∠ADC=∠EDB=$\frac{π}{4}$，DB=$\sqrt{2}$，AE=3EB，則邊長AC的值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，設DE=y，EB=x，AE=3x，則AD=$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}•$$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，在兩個三角形中，分別建立方程，即可得出結論．

解答 解：由題意，設DE=y，EB=x，AE=3x，則AD=$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}•$$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$，
∴△DEB中，x²=2+y²-2$\sqrt{2}y•\frac{\sqrt{2}}{2}$=2+y²-2y，
△ABC中，16x²=（$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$）²+（$\sqrt{9{x}^{2}-{y}^{2}}$+$\sqrt{2}$）²，
聯立解得AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查余弦定理、勾股定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．