Question

6．已知：橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過點(diǎn)A（-a，0），B（0，b）的直線的斜率為$\frac{1}{2}$，原點(diǎn)到該直線的距離為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{ED}$=2$\overrightarrow{DF}$，求直線EF的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用兩點(diǎn)連線的斜率公式及點(diǎn)到直線的距離公式列出橢圓的三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系，通過解方程求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件中的向量關(guān)系找到有關(guān)直線方程中的待定系數(shù)滿足的等式，解方程求出直線的方程．
（3）將條件以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D（-1，0）轉(zhuǎn)化為PD⊥QD，設(shè)出直線的方程將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率．

解答 解：（1）由題意可知直線AB的斜率k=$\frac{b-0}{0-a}$=$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2b，
由△OAB三角形的面積S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$•$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，即ab=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$•$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴2b²=$\sqrt{5}$b•$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，解得：b=1，
∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)EF：x=my-1（m＞0），設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（m²+4）y²-2my-3=0，
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，
∵$\overrightarrow{ED}$=（-1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{DF}$=（-1-x₂，-y₂），
由$\overrightarrow{ED}$=2$\overrightarrow{DF}$，
∴y₁=-2y₂．
則y₁+y₂=-y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-2y₂²=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，
∴（$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$）²=$\frac{3}{2（{m}^{2}+4）}$，解得：m=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，m=-$\frac{2\sqrt{15}}{5}$（舍去），（沒舍去扣1分）
直線EF的方程為：x=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$y-1，即x-$\frac{2\sqrt{15}}{5}$y+1=0；
（3）由題意可知：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（4k²+1）x²+16kx+12=0（*），
由△=（16k）²-4×12×（4k²+1）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{4}$，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{12}{4{k}^{2}+1}$，
∵PQ為直徑的圓過D（-1，0），
則PD⊥QD，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
整理得：（k²+1）x₁•x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=$\frac{-16k+17}{4{k}^{2}+1}$=0．
解得：k=$\frac{17}{16}$，滿足△＞0，
∴存在$\frac{17}{16}$，滿足題設(shè)條件．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．