Question

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-

1

a

|+|x+a|（a＞0）．證明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²+4y²+z²=3，求證：|x+2y+z|≤3．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）通過(guò)絕對(duì)值三角不等式，已經(jīng)基本不等式，即可證明f（x）≥2；
（Ⅱ）利用已知條件構(gòu)造柯西不等式，然后證明即可．

解答： 證明：（Ⅰ）由a＞0，
有f(x) = | x-

1

a

|+|x+a| ≥ | (x-

1

a

)-(x+a)| =

1

a

+a≥2當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．
所以f（x）≥2…（5分）
（Ⅱ）∵x²+4y²+z²=3，由柯西不等式得：[x²+（2y）²+z²]（1²+1²+1²）≥（x+2y+z）²（當(dāng)且僅當(dāng)

x

1

=

2y

1

=

z

1

即x=z=

6

5

，y=

3

5

時(shí)取“=”號(hào)）
整理得：（x+2y+z）²≤9，即|x+2y+z|≤3…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，基本不等式以及柯西不等式的應(yīng)用，考查推理與計(jì)算能力．