Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（16，0）的直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：∠POQ=

π

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)出拋物線方程，求得p=8，即可得到拋物線方程；
（2）設(shè)出直線PQ的方程，注意斜率不存在的情況，聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可判斷向量OP，OQ垂直，即可得證．

解答： （1）解：由于焦點(diǎn)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的右焦點(diǎn)（4，0）重合，
設(shè)拋物線方程為y²=2px，由

p

2

=4，解得，p=8．
則拋物線方程：y²=16x；
（2）證明：由于M（16，0），若直線斜率存在，可設(shè)直線方程為y=k（x-16），
則聯(lián)立聯(lián)立拋物線方程y²=16x，得k²x²-2（16k²+8）x+256k²=0，
則x₁+x₂=

32k2+16

k2

，x₁x₂=256，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-16）（x₂-16）=256+k²（256+x₁x₂-16（x₁+x₂））=0，
則∠POQ=

π

2

；
若PQ的方程為x=16，則將代入拋物線方程，得y=±16，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，則∠POQ=

π

2

．
則有∠POQ=

π

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理及向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．