Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a，a∈R．
（1）若f（x）有最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先化簡函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)已知即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a=1+cos2x+

3

sin2x+a=1+a+2sin（2x+

π

6

）
∵f（x）有最大值為2，2sin（2x+

π

6

）的最大值為2，
∴1+a=0，解得a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．