Question

已知F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，點P（a，b），若△F₁PF₂為等腰三角形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF₂上的動點，滿足

AM

•

BM

=-2，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可知P在第一象限，且PF₂=F₁F₂，由兩點間的距離公式求出PF₂的長度，利用PF₂=2c列式可求橢圓的離心率；
（2）由P和F₂的坐標寫出PF₂的斜率，寫出直線方程，和橢圓方程聯立求出A點坐標，可知B得坐標，設出M的坐標后得到向量

AM

，

BM

的坐標，代入

AM

•

BM

=-2后整理可得點M的軌跡方程．

解答：解：（1）由△F₁PF₂為等腰三角形，若PF₁=PF₂，則P點在y軸上，與P（a，b）矛盾，
所以PF₂=F₁F₂，所以PF₂=2c，
由F₂（c，0），所以PF22=（a-c）²+b²=4c²，把b²=a²-c²代入得，
a²-2ac+c²+a²-c²=4c²，整理得：2c²+ac-a²=0．
即2e²+e-1=0，（2e-1）（e+1）=0，解得：e=

1

2

；
（2）直線PA為y=

b

a-c

x-

bc

a-c

，
又a=2c，所以PA方程為y=

b

c

x-b．
代入橢圓方程得A交點為（

8

5

c，

3

5

b），B為（0，-b）．
設M（x，y），
則

AM

=(x-

8

5

c，y-

3

5

b)，

BM

=(x，y+b)．
由

AM

•

BM

=-2，得
(x-

8

5

c)x+(y-

3

5

b)(y+b)=-2，
整理得
x2-

8

5

cx+y2+

2

5

by-

3

5

b2+2=0．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡方程問題，考查了橢圓的簡單幾何性質，訓練了平面向量在解題中的應用，解答此題的關鍵是明確P點的坐標與橢圓的長半軸和短半軸一致，此題是中檔題．