已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C: y2=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？

(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準(zhǔn)線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？

(1) 弦MN的長不隨圓心k的運動而變化(2) 圓k必與準(zhǔn)線相交


解析:

(1)設(shè)圓心k(x0,y0),且y02=2ax0,

圓k的半徑R=|AK|=

∴|MN|=2=2a(定值)

∴弦MN的長不隨圓心k的運動而變化. 

(2)設(shè)M(0,y1)、N(0,y2)在圓k:(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，

令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2

∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 

又|MN|=|y1－y2|=2a， ∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0  ∴0≤x0≤.

圓心k到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+≤a,而圓k半徑R=≥a.

且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準(zhǔn)線相交.

練習(xí)冊系列答案
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(1)試問MN的長是否隨圓心K的運動而變化?

(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時,拋物線C的準(zhǔn)線與圓K有怎樣的位置關(guān)系?證明你的結(jié)論.

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