已知圓K過定點A(a,0)(a>0),圓心K在拋物線C:y2=2ax上運動,MN為圓K在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心K的運動而變化?

(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時,拋物線C的準線與圓K有怎樣的位置關系?證明你的結論.

解:(1)設圓心K(x0,y0),且y02=2ax0,圓K的半徑R=|AK|==,

∴|MN|=2=2=2a(定值).

∴弦MN的長不隨圓心K的運動而變化.

(2)設M(0,y1),N(0,y2),

在圓K:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,

令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0.

∴y1y2=y02-a2.

∵|OA|是|OM|和|ON|的等差中項,

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.

又∵|MN|=|y1-y2|=2a,

∴|y1|+|y2|=|y1-y2|.

∴y1·y2≤0.因此y02-a2≤0,

即2ax0-a2≤0,

∴0≤x0.

圓心K到拋物線準線的距離d=x0+≤a,

而圓K半徑R=≥a,

以上兩式不能同時取等號,故圓K必與準線相交.

練習冊系列答案
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