Question

【題目】（本小題共12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，試確定t的值.

Answer 1

【答案】（1）∵AD //BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD// BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）．

【解析】試題分析：（1）∵AD //BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD// BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）∵PA=PD，Q為AD的中點， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為；，，

，．

設，則，，

∵，

∴， ∴

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量為．

∵二面角M-BQ-C為30，

∴．