Question

16．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且acosB+bcosA=$\sqrt{3}$，△ABC的外接圓面積為π，則△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可得c=$\sqrt{3}$，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=$±\frac{1}{2}$，分類討論，由余弦定理，基本不等式可得ab的最大值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵acosB+bcosA=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+b•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\sqrt{3}$，
∴整理解得：c=$\sqrt{3}$，
∵△ABC的外接圓面積為π，
∴設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則πR²=π，解得：R=1，
∴由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sinC}=2$，可得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=$±\frac{1}{2}$，
當(dāng)cosC=$\frac{1}{2}$時(shí)，由余弦定理，基本不等式可得：3=a²+b²-ab≥ab，S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）
當(dāng)cosC=-$\frac{1}{2}$時(shí)，由余弦定理，基本不等式可得：3=a²+b²+ab≥3ab，S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．