Question

6．已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y²=4x上的兩點(diǎn)A、B滿足$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，求|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)BF=m，由拋物線的定義知AA₁和BB₁，進(jìn)而可推斷出AC和AB，及直線AB的斜率，則直線AB的方程可得，與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而跟韋達(dá)定理求得x₁+x₂的值，則根據(jù)拋物線的定義求得弦AB的長度．

解答 解：設(shè)$|\overrightarrow{FB}|=m$，由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，可得：$|\overrightarrow{FA}|$=3m，
由拋物線的定義知AA₁=3m，BB₁=m，
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，k_AB=$\sqrt{3}$，
∴直線AB方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
與拋物線方程聯(lián)立消y得3x²-10x+3=0
所以|AB|=x₁+x₂+2=$\frac{16}{3}$，
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了直線與拋物線的關(guān)系及焦點(diǎn)弦的問題．常需要利用拋物線的定義來解決．