Question

16．已知O點為坐標原點，且點A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）
（1）若|$\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}$|，求tanθ的值；
（2）若$（\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OC}$=1，求sinθcosθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐標運算、數(shù)量積的運算性質(zhì)即可得出；
（2）由數(shù)量積的坐標運算可得sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立即可解出．

解答 解：（1）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ），
∴$\overrightarrow{AC}$=（2sinθ-1，cosθ），$\overrightarrow{BC}$=（2sinθ，cosθ-1），
∵|$\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}$|，
∴（2sinθ-1）²+cos²θ=4sin²θ+（cosθ-1）²，
∴化為2sinθ=cosθ，
∴tanθ=$\frac{1}{2}$，
（2）∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=（1，0）+2（0，1）=（1，2），
∵$（\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{OC}$=1，
∴2sinθ+2cosθ=1，
∴sinθ+cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，
∴sinθcosθ=$-\frac{3}{8}$

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積，向量的模，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，是中檔題．