Question

6．若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），則不等式4f（x+1）＞7的解集為（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-4，2）
• D． （-∞，-4）

Answer 1

分析 求出x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），函數(shù)單調(diào)遞減，且f（x）＜1，即可解不等式．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0時(shí)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），
∴f（x）=-f（-x）=$\frac{1}{x-1}$+log₂（-x+1），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x+1}-lo{g}_{2}$（x+1），函數(shù)單調(diào)遞減，且f（x）＜1，
∴不等式4f（x+1）＞7，即不等式f（x+1）＞$\frac{7}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{\frac{1}{x}+lo{g}_{2}（-x）＞\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，∴x＜-4．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解不等式，考查函數(shù)解析式的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．