Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在橢圓上的所有點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，則橢圓的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• C． x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 由橢圓的離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a=$\sqrt{2}$c，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)在左頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值，即a+c=$\sqrt{2}$+1，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²，求得橢圓方程．

解答 解：有題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，
由橢圓上的所有點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，
當(dāng)點(diǎn)在左頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的值最大：
∴a+c=$\sqrt{2}$+1，
解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，
由b²=a²-c²=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)，考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．