Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD?平面ABCD，AD＝CD， DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）證明：AC?平面PBD．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條與已知直線平行的直線，解題時(shí)可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過平行線分線段成比例等．（Ⅱ）證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥αb⊥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥βa⊥β)．(4)利用面面垂直的性質(zhì)．

試題解析：（Ⅰ ）證明：設(shè)AC∩BD＝H，連結(jié)EH.

在△ADC中，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，

∴H為AC的中點(diǎn)．

又由題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故EH∥PA.

又EH?平面BDE，且PA?平面BDE，

∴PA∥平面BDE． 6分

（Ⅱ）證明：∵PD?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD?AC．

由(1)可得，DB?AC．

又PD∩DB＝D，故AC?平面PBD． 12分

考點(diǎn)：線面平行、垂直的判定.