Question

橫梁的強度和它的矩形橫斷面的寬成正比，并和矩形橫斷面的高的平方成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，則橫斷面的寬是

3

3

d

．

Answer 1

分析：據(jù)題意橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強度系數(shù)為k，k＞0）建立起強度函數(shù)，求出函數(shù)的定義域，再利用求導的方法求出函數(shù)取到最大值時的橫斷面的值．

解答：解：如圖所示，設矩形橫斷面的寬為x，高為y．由題意知，當xy²取最大值時，橫梁的強度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=

d

3

或x=-

d

3

（舍去）．
當0＜x＜

d

3

時，f′（x）＞0；當

d

3

＜x＜d時，f′（x）＜0，
因此，當x=

d

3

時，f（x）取得極大值，也是最大值．
故答案為：

3

3

d．

點評：考查據(jù)實際意義建立相關(guān)的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的特征選擇求導的方法來求最值．