Question

橫梁的強度和它的矩形橫斷面的寬成正比，并和矩形橫斷面的高的平方成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，則橫斷面的寬是______．

Answer 1

如圖所示，設(shè)矩形橫斷面的寬為x，高為y．由題意知，當(dāng)xy²取最大值時，橫梁的強度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=

d

3

或x=-

d

3

（舍去）．
當(dāng)0＜x＜

d

3

時，f′（x）＞0；當(dāng)

d

3

＜x＜d時，f′（x）＜0，
因此，當(dāng)x=

d

3

時，f（x）取得極大值，也是最大值．
故答案為：

3

3

d．