Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞π），在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

12

時(shí)，f（x）取得最大值3；當(dāng)x=

7

12

π時(shí)，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若x∈[-

π

3

，

π

6

]時(shí)，函數(shù)h（x）=2f（x）+1-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得A=3，根據(jù)周期T=2（

7π

12

-

π

12

）=

2π

ω

，求得ω=2．由2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅲ）函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象和直線y=

m-1

6

在[-

π

3

，

π

6

]上有2個(gè)交點(diǎn)，再由 2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，y=sin（2x+

π

3

）的圖象可得

m-1

6

∈[

3

2

，1），由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得A=3，周期T=2（

7π

12

-

π

12

 ）=

2π

ω

，∴ω=2．
由2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ=

π

3

，故函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
 故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（Ⅲ）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]時(shí)，函數(shù)h（x）=2f（x）+1-m有兩個(gè)零點(diǎn)，故 sin（2x+

π

3

）=

m-1

6

 有2個(gè)實(shí)數(shù)根．
即函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象和直線y=

m-1

6

有2個(gè)交點(diǎn)．
再由 2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，結(jié)合函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象可得 

m-1

6

∈[

3

2

，1），解得 m∈[3

3

+1，7），
即 實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3

3

+1，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．