11.已知無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a1=a,rSn=anan+1-1,其中a≠1,常數(shù)r∈N;
(1)求證:an+2-an是一個(gè)定值;
(2)若數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)T,使得對(duì)任意n∈N*,都有an+T=an成立,則稱{an}為周期數(shù)列,T為它的一個(gè)周期,求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,cn=2•3n-1(n∈N*),問(wèn):數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不是,請(qǐng)舉出反例.

分析 (1)由rSn=anan+1-1,利用迭代法得:ran+1=an+1(an+2-an),由此能夠證明an+2-an為定值.
(2)當(dāng)n=1時(shí),ra=aa2-1,故a2=$\frac{1+ra}{a}$,根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差,寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),再由r>0和r=0兩種情況進(jìn)行討論,能夠求出該數(shù)列的周期.
(3)因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)有理等差數(shù)列,所以a+a=r=2(r+$\frac{1}{a}$),化簡(jiǎn)2a2-ar-2=0,解得a是有理數(shù),由此入手進(jìn)行合理猜想,能夠求出Sn

解答 (1)證明:∵rSn=anan+1-1,①
∴rSn+1=an+1an+2-1,②
②-①,得:ran+1=an+1(an+2-an),
∵an>0,∴an+2-an=r.
(2)解:當(dāng)n=1時(shí),ra=aa2-1,∴a2=$\frac{1+ra}{a}$,
根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差,寫出數(shù)列的前幾項(xiàng):a,r+$\frac{1}{a}$,a+r,2r+$\frac{1}{a}$,a+2r,3r+$\frac{1}{a}$,….
當(dāng)r>0時(shí),奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是單調(diào)遞增的,所以不可能是周期數(shù)列,
∴r=0時(shí),數(shù)列寫出數(shù)列的前幾項(xiàng):a,$\frac{1}{a}$,a,$\frac{1}{a}$,….
所以當(dāng)a>0且a≠1時(shí),該數(shù)列的周期是2,
(3)解:因?yàn)閿?shù)列{an}是一個(gè)有理等差數(shù)列,a+a+r=2(r+$\frac{1}{a}$),
化簡(jiǎn)2a2-ar-2=0,a=$\frac{r+\sqrt{{r}^{2}+16}}{4}$是有理數(shù).
設(shè)$\sqrt{{r}^{2}+16}$=k,是一個(gè)完全平方數(shù),
則r2+16=k2,r,k均是非負(fù)整數(shù)r=0時(shí),a=1,an=1,Sn=n.
r≠0時(shí)(k-r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8組,
其中只有$\left\{\begin{array}{l}{r=3}\\{k=5}\end{array}\right.$,符合要求,
此時(shí)a=2,an=$\frac{3n+1}{2}$,Sn=$\frac{n(3n+5)}{4}$,
∵cn=2•3n-1(n∈N*),an=1時(shí),不符合,舍去.
an=$\frac{3n+1}{2}$時(shí),若2•3n-1=$\frac{3k+1}{2}$,則:3k=4×3n-1-1,n=2時(shí),k=$\frac{11}{3}$,不是整數(shù),
因此數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)不都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、數(shù)列的周期性性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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