【題目】已知函數(shù)

若函數(shù)的最大值為3,求實(shí)數(shù)的值;

若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

,是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且,求證:

【答案】4;;證明見(jiàn)解析.

【解析】

求出函數(shù)的定義域,利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由單調(diào)性求解函數(shù)的最大值,然后求出即可;化簡(jiǎn)恒成立的不等式為,得到,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,得到,然后求解的范圍,是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),可得,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,推出,得到,即可證明結(jié)論.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>因?yàn)?/span>,

所以在內(nèi),,單調(diào)遞增;

內(nèi),單調(diào)遞減.

所以函數(shù)處取得唯一的極大值,即的最大值

因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3,

所以,

解得

因?yàn)楫?dāng)時(shí),恒成立,

所以,

所以,

.令,

因?yàn)?/span>

所以

所以單調(diào)遞增

所以

所以,

所以即實(shí)數(shù)k的取值范圍是

可知:

所以

因?yàn)?/span>,是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),

所以

因?yàn)?/span>

,

所以在,,單調(diào)遞減.

所以

所以,即

知,單調(diào)遞增,

所以,

所以

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