【題目】平面上有個(gè)點(diǎn)，其中每?jī)牲c(diǎn)之間的連線均染成紅色或黑色.若圖中總存在兩個(gè)沒(méi)有公共邊的同色三角形，求的最小值.

【答案】8

【解析】

對(duì)于如圖的七個(gè)點(diǎn)，并將圖中的線畫成紅色，其余的線畫成黑色.

于是圖中所得到的四個(gè)三角形，其中任何兩個(gè)三角形都是有公共邊的紅色三角形.此外對(duì)四個(gè)黑三角形，也有一條公共邊，因此所求的最小正整數(shù).

下面證明時(shí)符合題目要求，用反證法.

假設(shè)對(duì)8個(gè)點(diǎn)每?jī)牲c(diǎn)的連線染成紅、黑兩色，但不滿足題目要求.

由于對(duì)于6個(gè)點(diǎn)，則必存在一個(gè)單色三角形，不妨設(shè)為紅三角形（圖中用實(shí)線連接）.

這時(shí)，考察除去，的其他6點(diǎn).即，，…，每?jī)牲c(diǎn)連線染成二色的圖形.由假設(shè)知，這6點(diǎn)存在的同色三角形只能是黑三角形，不妨設(shè)是黑三角形（圖中用虛線連接）.

再除去，，的其余5點(diǎn)，由假設(shè)知這5點(diǎn)不能有單色三角形，于是只能為如圖的情形，不妨設(shè)所連線為紅線，所連線為黑線.

這時(shí)，再考察由，，，，，這6點(diǎn)構(gòu)成的圖.由反證假設(shè)只能有兩個(gè)紅三角形，且這兩個(gè)紅三角形都以為公共邊，于是這兩個(gè)三角形只能是和.所以為紅邊，為紅邊.類似地可證和為黑邊，此時(shí)若為紅邊則與為無(wú)公共邊紅三角形，若為黑邊，則與為無(wú)公共邊黑三角形，均與反證假設(shè)矛盾.

綜上，所求最小正整數(shù)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某電視臺(tái)為宣傳本省，隨機(jī)對(duì)本省內(nèi)15～65歲的人群抽取了人，回答問(wèn)題“本省內(nèi)著名旅游景點(diǎn)有哪些”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示.

組號(hào)

分組

回答正確的人數(shù)

回答正確的人數(shù)占本組的頻率

第1組

第2組

18

第3組

第4組

第5組

（1）分別求出的值；

（2）從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2、3、4組每組各抽取多少人？

（3）指出直方圖中，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少（取整數(shù)值）？

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A.2B.C.D.

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【題目】已知直線l：y=kx+m與橢圓+=1（a＞b＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)P，l與圓x2+y2=a2相交于A，B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求m（用a，b，k表示）；

（Ⅱ）當(dāng)k=-時(shí)，△AOB的面積的最大值為a2，求橢圓的離心率．

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【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ若函數(shù)的最大值為3，求實(shí)數(shù)的值；

Ⅱ若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Ⅲ若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：．

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（1）求被抽測(cè)的200輛汽車的平均行駛速度.

（2）已知該路段屬于事故高發(fā)路段，交警部門對(duì)此路段過(guò)往車輛限速60 km/h，并且對(duì)于超速行駛車輛有相應(yīng)處罰：記分（扣除駕駛員駕照的分?jǐn)?shù)）和罰款.

罰款情況如下：

超速情況

10%以內(nèi)

10%~20%

20%~50%

50%以上

罰款情況

0元

100元

150元

500元

求被抽測(cè)的200輛汽車中超速10%~20%的車輛數(shù).

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（3）記. 若，求.

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【題目】

已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（1）求這名學(xué)生都選擇了物理的概率.

（2）設(shè)為這名學(xué)生中選擇物理的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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