Question

已知△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊．已知：2

2

（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，△ABC的外接圓半徑為

2

，
（1）求角C和邊c；
（2）求△ABC面積S的最大值并判斷取得最大值時(shí)三角形的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）首先利用正弦定理解出C的大小，在求出c邊長．
（2）利用第一步的結(jié)論，主要對關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，再求最值，同時(shí)求出三角形的形狀．

解答： 解：（1）利用正弦定理化簡已知的等式得：2

2

（a²-c²）=b（a-b），
整理得：a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
∵c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-c²=2abcosC，
∴2abcosC=ab，即cosC=

1

2

所以：C=

π

3

由c=2RsinC=2•

2

•

3

2

=

6

（2）由（1）得：A+B=

2π

3

利用正弦定理得：a=2

2

sinA，b=2

2

sinB
所以：S△ABC=

1

2

absinC=2

3

sinAsinB=2

3

sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA)
=

3

sin(2A-

π

6

)+

3

2

當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

時(shí)，S△ABCmax=

3 3

2

此時(shí)A=

π

3

，由于A=C=

π

3

所以：B=

π

3

所以：△ABC為等邊三角形

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角恒等變換，正弦定理的應(yīng)用，三角形面積的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．