Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的右焦點為F，過點F作一條漸近線的垂線，垂足為P．若點P的縱坐標為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則該雙曲線的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)右焦點F（c，0），設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為l：y=$\frac{x}{a}$，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得直線PF的方程，聯(lián)立漸近線方程求得P的縱坐標，由條件結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)右焦點F（c，0），且c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為l：y=$\frac{x}{a}$，
由PF⊥l，可得直線PF的方程為y=-a（x-c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-a（x-c）}\\{y=\frac{x}{a}}\end{array}\right.$消去x，可得y=$\frac{ac}{1+{a}^{2}}$，
即有y=$\frac{ac}{{c}^{2}}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$，
由點P的縱坐標為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得$\frac{1}{e}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即有e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．