Question

【題目】已知函數(shù),其中．

（Ⅰ）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，試判斷方程是否有實(shí)數(shù)解，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>在區(qū)間上為增函數(shù)在上恒成立，在上恒成立；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 再利用導(dǎo)數(shù)工具得成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ． 設(shè)利用導(dǎo)數(shù)工具求得， 即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解．

試題解析：函數(shù)定義域，．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立，

即，在上恒成立，

則 ………………………………………………………4分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，,．

令，得．

令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．

令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減．

所以，．

所以成立． …………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ， 所以．

設(shè)所以．

令，得．

令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減；

所以，， 即．

所以 ，即．

所以，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解． ……………………………………………12分