【題目】在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為，動點滿足：直線與直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于兩點，求面積的最小值.

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析：(1)設(shè)出動點的坐標,根據(jù)斜率之積為,可以求得軌跡方程；(2)設(shè)直線,與曲線方程聯(lián)立,消去,得出關(guān)于的一元二次方程,寫出韋達定理,因為,代入可以得到的等式,把用換掉,可以得到三角形的高為定值,再用基本不等式放縮得到面積的最值.

試題解析：解：（1）已知，設(shè)動點的坐標，

∴直線的斜率，直線的斜率，

又，∴，即.

（2）設(shè)，直線的方程為，

與橢圓聯(lián)立，消去得，

，.

∵，∴，∴，

即，

把，代入得，

整理得，

∴到直線的距離.

∵，∴，當且僅當時取“=”.

由得，

∴，即弦的長度的最小值是.

∴面積的最小值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知圓及點，．

（1）若直線平行于，與圓相交于，兩點，，求直線的方程；

（2）在圓上是否存在點，使得？若存在，求點的個數(shù)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】記表示中的最大值，如.已知函數(shù)，.

（1）設(shè)，求函數(shù)在上零點的個數(shù)；

（2）試探究是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),其中．

（Ⅰ）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）當時，證明：；

（Ⅲ）當時，試判斷方程是否有實數(shù)解，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，關(guān)于的不等式恒成立；

（3）若正實數(shù)滿足，證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在.

（1）求居民收入在的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)及其眾數(shù)；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則應(yīng)月收入為的人中抽取多少人？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，平面平面，，.設(shè)分別為中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）試問在線段上是否存在點，使得過三點的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行?

若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，右頂點為，直線過原點，且點在x軸的上方，直線與分別交直線：于點、.

（1）若點，求橢圓的方程及△ABC的面積；

（2）若為動點，設(shè)直線與的斜率分別為、.

①試問是否為定值？若為定值，請求出；否則，請說明理由；

②求△AEF的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，其中.

（1）如果函數(shù)與在處的切線均為，求切線的方程及的值；

（2）如果曲線與有且僅有一個公共點，求的取值范圍.

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