Question

11．已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)A（-$\sqrt{15}$，1），且與x²-3y²=1有相同的漸近線．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)雙曲線C的方程為x²-3y²=λ，點(diǎn)A（-$\sqrt{15}$，1），代入可得λ，即可求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l方程為y=x-4，代入x²-3y²=12得x²-12x+30=0，利用弦長(zhǎng)公式，求|AB|．

解答 解：（1）由題意，設(shè)雙曲線C的方程為x²-3y²=λ，點(diǎn)A（-$\sqrt{15}$，1），代入可得λ=15-3=12，
∴x²-3y²=12，
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
又由c²=a²+b²，得c=4，F(xiàn)₂（4，0）
過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l方程為y=x-4，
代入x²-3y²=12得x²-12x+30=0，∴x=6±$\sqrt{6}$
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AB|=$\sqrt{2}•$|x₁-x₂|=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查弦長(zhǎng)的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．