Question

1．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R）
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)x≤a時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義，求f（-x）=x²+|x+a|+1，對(duì)參數(shù)a分類討論即可；
（2）當(dāng)x≤a時(shí)，得出函數(shù)表達(dá)式f（x）=x²-x+a+1，可知函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，只需對(duì)a分類討論即可．

解答 解：（1）f（-x）=x²+|-x-a|+1=x²+|x+a|+1，
∴當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，為非奇非偶函數(shù)；
（2）當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x²+|x-a|+1=x²-x+a+1
當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)的最小值為f（a）=a²+1；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$+a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷和二次函數(shù)參數(shù)討論問題．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．