Question

【題目】已知點P為直線上任意一點，，M為平面內(nèi)一點，且.

（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）過點P作曲線E的切線，切點分別是.若，求點P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意可知點到點的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義即可寫出點M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）依題可設(shè)點，切線方程為，根據(jù)直線與拋物線相切，可得，求解出根與系數(shù)的關(guān)系，再設(shè)出直線的斜率為，直線的斜率為，即可用表示出切點坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式列出方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可解出．

（Ⅰ）設(shè)點，交直線于點N，

因為，所以，

即點M的軌跡E是以F為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線．

因為，所以，所以點M的軌跡E的方程為．

（Ⅱ）設(shè)點，顯然切線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，

則切線方程為，

代入得，，

，所以.

設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，

則.

設(shè)切點坐標(biāo)為，由有兩個相等實數(shù)根，

得，所以切點坐標(biāo)為，

即切點，

所以

，

其中，

所以，

所以，即，解得，即．

故點P的坐標(biāo)為或．