Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，（k∈R，x∈R）
（1）當k=e時．求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）若k＞0，且對于任意x≥0總有f（x）＞0恒成立．求實數(shù)k的取值范圍；
（3）令g（x）=e^x-3lnx，若至少存在一個實數(shù)x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀）成立．求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將k=e代入函數(shù)的表達式，通過求導得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的極小值；
（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值大于0，解不等式，求出即可；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的最值問題，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，容易得到答案．

解答： 解：（1）k=e時，f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0；
（2）∵f′（x）=e^x-k，k＞0
令f′（x）＞0，解得：x＞lnk，令f′（x）＜0，解得：x＜lnk，
∴f（x）在[0，lnk）遞減，在（lnk，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-klnk＞0，解得：0＜k＜e，
（3）若f（x）＜g（x），則e^x-kx＜e^x-3lnx，
∴l(xiāng)nx＜

k

3

x，
令m（x）=lnx，n（x）=

k

3

x，
畫出函數(shù)m（x），n（x）的圖象，如圖示：
，
由題意得：只需m（x）的最小值小于g（x）的最大值即可，
∴0＜

ke

3

，解得：k＞0，

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．