Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x+1）}{x-1}$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線平行于直線y=10x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)直線l為函數(shù)y=lnx圖象上任意一點(diǎn)A（x₀，y₀）處的切線，在區(qū)間（1，+∞）上是否存在x₀，使得直線l與曲線y=e^x也相切？若存在，滿足條件的x₀有幾個(gè)？

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線平行于直線y=10x+1，求出a，再確定導(dǎo)數(shù)恒大于0，從而可得求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A（x₀，y₀）處的切線方程，再設(shè)直線l與曲線y=g（x）=e^x相切于點(diǎn)（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），進(jìn)而可得lnx₀=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，再證明在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x+1）}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2a}{（x-1）^{2}}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線平行于直線y=10x+1，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=2+8a=10，
∴a=1
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x-1）^{2}}$
∵x＞0且x≠1，∴f'（x）＞0
∴函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）．（5分）
（2）證明：∵y=lnx，∴切線l的方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀）
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x+lnx₀-1，①（6分）
設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），
∵g'（x）=e^x，∴${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴x₁=-lnx₀．（8分）
∴直線l也為y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x+lnx₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x+$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{x}_{0}}$，②（9分）
由①②得lnx₀-1=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴l(xiāng)nx₀=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$．（11分）
下證：在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（1）可知，f（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上遞增．
又f（e）=-$\frac{2}{e-1}$＜0，f（e²）=$\frac{{e}^{2}-3}{{e}^{2}-1}$＞0，（13分）
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說明方程f（x）=0必在區(qū)間（e，e²）上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一x₀．

點(diǎn)評 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，同時(shí)考查零點(diǎn)存在性定理，綜合性比較強(qiáng)．