如圖,已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求此時異面直線AE和CH所成的角.
分析:(1)由四邊形ABCD為棱形,∠ABC=60°,知△ABC是等邊三角形,由E是BC的中點,知AE⊥BC,由BC∥AD,知AE⊥AD,由PA⊥平面ABCD,知PA⊥AE,由此能夠證明AE⊥PD.
(2)設(shè)AB=2,H為PD上任意一點,連接AH,EH,由(1)知AE⊥平面PAD,從而推導(dǎo)出∠EHA為EH與平面PAD所成的角,由此能求出異面直線所成的角的大小.
解答:解:(1)證明:∵四邊形ABCD為棱形,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∵E是BC的中點,∴AE⊥BC,
又∵BC∥AD,∴AE⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,∴PA⊥AE,
∵PA?平面PAD,AD?平面PAD,且PA∩AD=A,
∴AE⊥平面PAD,
又∵PD?平面PAD,∴AE⊥PD.
(2)設(shè)AB=2,H為PD上任意一點,
連接AH,EH,由(1)知AE⊥平面PAD,
∴∠EHA為EH與平面PAD所成的角,
在Rt△EAH中,AE=
3
,所以當(dāng)AH最短時,即AH⊥PD時,EH與平面PAD所成的角∠EHA最大,
此時tan∠EHA=l
因此AH=AC1∥面CDB1.又AD=2,所以∠ADH=45°,所以 PA=2.
此時異面直線AE和CH異面直線所成角30°.
點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查異面直線所成的角的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點E是BC邊上的中點.
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點,AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案