Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞0且a≠1．

Answer 1

分析 方程 lnx-ax²+ax=0有兩解?方程$\frac{lnx}{x}=a（x-1）$恰有兩解．即兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由題知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程$\frac{lnx}{x}$=a（x-1）恰有兩解．
設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)，且g（1）=0，
作出函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=a（x-1）的圖象如下圖所示：

∵當(dāng)x＞e時(shí)，g（x）＞0，且g'（1）=1，
∴g（x）在（1，0）處的切線方程為y=x-1，
∴當(dāng)0＜a＜1或a＞1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=a（x-1）的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：a＞0且a≠1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于難題．