Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+ax有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為a＞0且a≠1．

Answer 1

分析 方程 lnx-ax²+ax=0有兩解?方程$\frac{lnx}{x}=a（x-1）$恰有兩解．即兩個函數(shù)圖象有兩個交點．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），由題知方程 lnx-ax²+ax=0，即方程$\frac{lnx}{x}$=a（x-1）恰有兩解．
設g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當0＜x＜e時，g'（x）＞0，當x＞e時，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)，且g（1）=0，
作出函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=a（x-1）的圖象如下圖所示：

∵當x＞e時，g（x）＞0，且g'（1）=1，
∴g（x）在（1，0）處的切線方程為y=x-1，
∴當0＜a＜1或a＞1時，函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=a（x-1）的圖象恰有2個交點．
故答案為：a＞0且a≠1．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了轉化能力與計算能力，屬于難題．