Question

在直角坐標(biāo)平面上給定一曲線y2=2x,

(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,求曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|.

(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),a∈R,求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值dmin,并寫(xiě)出dmin=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.

 

Answer 1

（1）|PA|= （2）dmin=f(a)=

【解析】(1)設(shè)M(x,y)為曲線y2=2x上任意一點(diǎn),

則|MA|2=+y2=x2+x+=+,

因?yàn)閤∈[0,+∞),所以當(dāng)x=0時(shí),

|MA=+=,即|MA|min=.

所以距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0),這時(shí)|PA|=.

(2)依題意得,

d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x

=x2-2(a-1)x+a2

=[x-(a-1)]2+(2a-1)

因?yàn)閤∈[0,+∞),

所以分a-1≥0和a-1<0兩種情況討論.

當(dāng)a≥1時(shí),=2a-1,即dmin=,

當(dāng)a<1時(shí),=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2,

即dmin=|a|.

這時(shí)恰好拋物線頂點(diǎn)(0,0)與點(diǎn)A(a,0)最近.

所以dmin=f(a)=